某群跨年赛题目

Anapple

某群跨年赛题目（比赛现已结束）
注：1.灰色线条是已知，黄色线条是所求，虚线只是为了示意，不已知也不要求作出
2.第1题不计重力（只有如图一种画法）
3.第2题首尾两条线段不能平行
4.因为有加分的存在满分远不止100分哦，看看你能拿到多少分

yimin0519

highflybird 发表于 2025-2-18 14:04
由这个作法引申而来，不知道这样的会不会有做图解。
如果已知矩形的宽，求作各圆。（排除3：2的矩形这个 ...

排除特殊情况，有唯一解的情况那就只能如下面这样了：


方程表达式书写如下，请大家验证：
a&b:
a^6-2*a^5*b-17*a^4*b^2-12*a^3*b^3+47*a^2*b^4+14*a*b^5+b^6 = 0
R&a:
64*R^6+448*a*R^5-528*a^2*R^4-160*a^3*R^3+124*a^4*R^2-20*a^5*R+a^6 = 0
R&b:
64*R^6-448*b*R^5+368*b^2*R^4+160*b^3*R^3-36*b^4*R^2-12*b^5*R+b^6=0

yimin0519

  洛伦兹力不会给从点A发出既定初速度的带点粒子加速或减速，故其穿越不带磁场的区域中心O后仍然是匀速的，即除了在无磁场区域作匀速直线运动外，带点粒子它在匀强磁场的区域内运动轨迹都是相同的，欲使它在有限的次数穿过无磁中心O并以最短的路径回到初始点A，那么它的所有轨迹必须均与无磁区域⊙O之圆正交（即它的发射速度是有限定的）。下图为一次、两次穿越O点的解法，三次无尺规作图可能，更多次穿越未做研究：

chenjun_nj

highflybird 发表于 2025-2-5 13:07
关于第1题，我这里贴出一个作法，抛砖引玉吧。不知道我理解的对不？

第1题中A点发射的带电粒子速度可以不同，但发射后就是不变速度，在垂直磁场作用下运动轨迹为圆，半径与粒子速度有关；
在圆O内没有磁场，粒子走直线，速度和方向不变；
出圆O后粒子按进来时同样的半径走圆轨迹，因为要经过圆O的圆心O，所以粒子在圆O内的轨迹是直径，那么进和出圆处都与圆O正交。

xudongchu

厉害，谢谢您的分享。

qjchen

抛砖引玉一下，做下第二题的一个解。 算了一下， 1，2，4是有尺规解的，3，5只懂硬算了，不大确定其是否有尺规解




第3题眼花看错了，以为是下面这道题，这个倒是有尺规解的

highflybird

通过轨迹法，找到了作图解，暂未证明。


顺便也贴出QJchen兄的题目的解法：

highflybird

highflybird 发表于 2025-2-3 23:17
通过轨迹法，找到了作图解，暂未证明。

作法更简化了：


另外针对另外一解，作图如下：

highflybird

关于第4题给出一种作法，也不算复杂：

highflybird

关于第2题，我这里提供一种解法，原理和qjchen的相似：

highflybird

关于第1题，我这里贴出一个作法，抛砖引玉吧。不知道我理解的对不？

highflybird

chenjun_nj 发表于 2025-2-5 14:22
第1题中A点发射的带电粒子速度可以不同，但发射后就是不变速度，在垂直磁场作用下运动轨迹为圆，半径与粒 ...

如果下面粗线条部分为壁的话，这样也是可以的吧？